І знову тригонометрія

Як легко запам'ятати формули тригонометрії слухайте тут

Тестування ЗНО онлайн на сайті Освіта.ua

Сайт zno.osvita.ua, що надає можливість проходження тестів ЗНО онлайн та підготовки майбутніх абітурієнтів для проходження зовнішнього незалежного оцінювання у 2015 році, створений провідним українським освітнім інтернет-ресурсом Освіта.ua.

На сайті «ЗНО онлайн» розміщені тести, що складали абітурієнти під час зовнішнього незалежного оцінювання 2009-2014 років, а також варіанти тестів, що пропонувались вступникам до вищих навчальних закладів України під час пробного зовнішнього незалежного оцінювання 2010-2014 років.

Спосіб виконання всіх тестових завдань, у запропонованих на цьому сайті тестах, максимально наближений до реальних тестів, а форма надання відповіді відповідає виду, що пропонується абітурієнтам у бланку відповідей під час проходження реальних тестів ЗНО.

Після виконання тестових завдань кожного тесту надаються правильні відповіді на всі завдання та розраховується результат у тестових та рейтингових балах, також визначається час витрачений на виконання тесту.

Для кожного окремого предмету ви можете також відкрити повний список всіх наявних тестових завдань зовнішнього незалежного оцінювання. У цьому варіанті проходження ЗНО онлайн ви зможете отримати правильну відповідь на кожне завдання відразу після його виконання.

Скористатися сервісом ЗНО онлайн ви можете за наступним посиланнямhttp://zno.osvita.ua/

Освітній форум у Києві "Успішний 11-класник"

Шановні одинадцятикласники! Мрієте про вступ до найкращих вищих навчальних закладів Києва? Вагаєтесь, яку спеціальність обрати? Хочете дізнатись ефективні стратегії підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання 2015 року? Тоді вам сюда. 

Як отримати 200 балів на ЗНО 2015 року?

Шановні випускники! Дуже цікава і корисна інформація! Читати тут!!!

Орієнтовні теми МАНівських робіт

1. Метод площ в геометрії.

2. Математична теорія гри

3. Діофантові рівняння

4. Числа Фібоначчі

5. Числові послідовності та їх застосування

1 квітня День сміху і ще міжнародний День математика.

Бажаю всім перебувати  у відмінному настрої не тільки у цей день, а і у кожну з миттєвостей свого життя.

Дуже цікава інформація тут. Читайте і посміхайтесь!!!

Онлайн тестування!!!

http://www.testorium.net/ - переходьте на вкладку Математика. Алгебра і початки аналізу, там 9 тестів і 3 контрольних теста, відповідайте!!! Успіхів!!!

Домашня контрольна робота

Розв'язати рівняння:

   а) 2 cos² x  + 7 sin x – 5 = 0

   б) 2 cos² x  + 7 sin x cos х = 0

   в) 9 sin² x – 7 sin x cos х - 2 cos² x = 0

   г) 2 cos² x + 7 sin x cos х - 9 sin² x = 2

   д) cos3x + 2cosx = 0

Готуємося до відкритого уроку!

решение тригонометрических уравнений from Людмила Щецова

Оберіть одну з правильних відповідей!!!

Як легко запам'ятати формули тригонометрії

http://yadi.sk/d/OSbrLuX5HHJcx

Побудова перерізів многогранників

Слідом називають пряму перетину площини перерізу і площини якої-небудь грані многогранника. Щоб побудувати слід, достатньо знати дві його точки, тобто точки, як одночасно лежать в січній площині і площині даної грані. Якщо слід побудований, то відрізок (PQ), по якому він перетинається з площиною

дає сторону перетину, яка лежить у цій площині. Але ще важливіше те, що кожна точка його перетину зі стороною грані або її продовженням лежить і в площині іншої грані; наприклад, точка P (на мал. 1) лежить в бічній грані ABS піраміди, точка U - в площині грані BCS і т.д.

Мал.1

Оскільки ці точки, як і весь слід, лежать також і в площині перетину, ми отримуємо принаймні 

одну точку перетину в кожній з граней, суміжних з . Використовуючи інші відомі з умови або попередньої побудови точки перетину, які лежать в цих гранях, будуємо слід у новій грані і т. д. Цих міркувань досить для побудови перетину піраміди або призми по двох точках в площині основи і одній на бічній поверхні. У випадку призм можна додатково використовувати і те, що сторони перерізу, які належать основам, паралельні.

Але не завжди дані завдання дозволяють відразу провести слід в площині основи піраміди або призми. В цьому випадку побудова сліду, точніше, будь-яких двох його точок, стає першим кроком рішення. Основний елементом цієї побудови - знаходження точки, в якій пряма перетинає площину. Розглянемо приклад (мал.2), в якому потрібно побудувати лінію перетину площини, що проходить через точки K, L, M, задані на бічній поверхні призми, з її основою. Спочатку будуємо проекції K', L', M' даних точок на площину основи (в даному випадку взяті паралельні проекції вздовж бічних ребер призми). Будь-які дві з точок K, L, M лежать в одній площині з своїми проекціями. Значить, пряма, що сполучає ці точки, перетинається в просторі, з прямою, яка з’єднує їх проекції,(або названі прямі паралельні). На малюнку 2 побудовані точки P і Q перетину прямихKL і K'L', LM і L'M'. Очевидно, що ці точки і є точками перетину прямих KL і LM з площиною основи призми, а пряма PQ - слід площини перетину KLM на площині основи.

мал.2                                                                  мал.3

Легко зрозуміти, що якщо одна з прямих KL іLM виявиться паралельною своїй проекції, то і слід буде паралельний цій прямій.

Практично так само вирішуються аналогічні завдання для пірамід, тільки замість паралельної проекції треба розглянути центральну (з центром у вершині піраміди). Порівняєте побудови на малюнках 2 і 3.Алгоритм побудови перетинів призм і пірамід трьома точками (методом слідів):

• 
  Крок 1. Будуємо проекції K', L', M' даних точокK, L, M на площину основи (паралельно бічним ребрам у разі призм та з вершини піраміди як з центру проекції у разі пірамід); цю площину називають основною. Якщо якісь з даних точок належать основній площині, їх проекції, звичайно, будувати не треба. 
• 
  Крок 2. Перетинаючи прямі (KL, LM, MK), що сполучають дані точки, з їх проекціями, знаходимо точки перетину цих прямих з основною площиною. Пряма, що проходить через них є слідом перетину на основі. Щоб її провести, досить знайти хоч би дві її точки. 
• 
  Крок 3. Знаходимо точки перетину сліду із сторонами основи або їх продовженнями. Використовуючи ці точки і ті з даних точок, які лежать на бічній поверхні многогранника, послідовно знаходимо вершини перетину на бічних ребрах (як показано в прикладі), а у випадку призми і на сторонах другої основи. 

У останньому випадку всі задані точки можуть потрапити на основи (мал.4); тоді слід на одній з основ (пряма ^ LM на малюнку) будується безпосередньо, а на іншому проводиться паралельно першому. В результаті отримуємо точки (U і V) на бічних гранях і далі діємо, як вище.

               мал.4

Відмітимо, що якщо завдання поставлене «правильно», то ми завжди зуміємо виконати перший крок описаного алгоритму - знайти потрібні проекції даних точок K, L, M на деяку (основну) площину. Зокрема, ці точки можна задавати на певних гранях або ребрах многогранника або, наприклад, на прямій, що сполучає дві задані точки на гранях. При виконанні другого кроку алгоритму дві з трьох прямих KL, LM, MK перетнуть свої проекції і тим самим визначать слід у всіх випадках, окрім одного, коли площина перетину паралельна основі призми або піраміди. Але в цьому випадку можна просто скористатися тим, що, по теоремі про перетин двох паралельних площин третьою, сторони перетину будуть паралельні відповідним сторонам основи. Задача 1. Побудуйте переріз трикутної призми площиною, що проходить через точки М, К, і N.

1. 
   Знайдемо точку Х перетину прямої NK і прямої АВ.
2. 
   ХМ – слід (МNК) на (АВВ₁). Знайдемо точку L перетину прямої ХМ і ребра ВВ₁.
3. 
   Знайдемо точку Y перетину прямої МХ і прямої АА.
4. 
   YN – слід (МNК) на ( АСС). Знайдемо точку F перетину прямої YN і ребра АС.
5. 
   NКLMF – шуканий переріз.

Побудова перерізу піраміди зводиться до побудови прямих, які є прямими перетину даної січної площини з площинами січних граней піраміди.Діагональний переріз піраміди – це переріз піраміди площиною, яка проходить через два несусідніх ребра піраміди.

Задача 2. Дано піраміду SABCD. Побудуйте переріз піраміди площиною МNК, де точка М  AS, точка К SB і N  SD.

1. 
   МК – слід (МNК) на (SAB). Знайдемо точку Х перетину прямої МK і прямої АВ.
2. 
   МN – слід (МNК) на (SAD). Знайдемо точку Y перетину прямої МN і прямої АD.
3. 
   YХ – слід (МNК) на ( АВС). Точки Р і L – точки перетину XY з ребрами DC i CB.
4. 
   LKMNP – шуканий переріз.

2. побудова перерізів многогранників

За матеріалами http://lib.exdat.com/docs/724/index-12870.html

Завдання з математики під час призупинення занять

Алгебра - повторити всі формули тригонометрії, підготуватися до усного заліку.
Геометрія - опрацювати параграф 9 виконати завдання 346-349

Паралельне проектування як метод зображення просторових фігур на площині

http://repetitor-problem.net/paralelne-proektuvannya-yak-metod-zobrazhennya-prostorovih-figur-na-ploshhini

Зображення плоских фігур при паралельному проектуванні

http://repetitor-problem.net/zobrazhennya-ploskih-figur-pri-paralelnomu-proektuvanni

Математичні ювілеї 2014 року

Математичні ювілеї 2014 року

Сьогодні я пропоную своїм читачам ознайомитись із календарем ювілеїв 

у математиці  у Новому 2014 році. Цей рік багатий на такі ювілеї.

Про найцікавіші з них я писатиму у своїх постах. 

 Що відбувалось багато століть тому?

1464  - побачила світ праця Регіомонтана "П'ять книг про трикутники всіх видів". 

Це був перший  в Європі систематичний  виклад тригонометрії як самостійної 

математичної дисципліни. У рукописах з'явиливь знаки "+" і "-". були 

адруковані найточніші тригонометричні таблиці цього часу.

 У тригонометричних таблицях почали застосовувати десяткову позиційну систему.

1484 - Праця Н. Шюке "Наука про числа  у трьох частинах". Введення нульвого

 і від'ємного показників степеня.

!509 - "Про божественну пропорцію" Пачолі. Елементи перспективи.

1544 - "Повна арифметика " М. Штіфеля. Від'ємні числа почали розглядатись

 як такі. що менші за нуль. Були введені круглі дужки і символи для багатьох 

невідомих. Виникла ідея логарифмів.

1569 - вийшла "Геометрія" П. Римуса. Перший виступ проти "Начал " Евкліда 

як навчального посібника.

1574 - Видавництво "Начал" Евкліда із коментарями Хр. Клавіуса.


1579 - Побачили світ "Математичні таблиці" Ф. Вієта. Перші приклади нескінченного

 добутку (для вираження числа пі).

1614 - З'явилась у друку перша таблиця логарифмів  - "Опис чудової таблиці 

логарифмів" Дж. Непера.


1624 -"Логарифмічна арифметика " Бріггса. Детальна таблиця десяткових 

логарифмів.
 Перша логарифмічна лінійка Е. Гунтера.

1629 - "Новий винахід  в алгебрі" А. Жирара. Перше геометричне пояснення 

від'ємних чисел. Перше формулювання "основної теореми алгебри". 

Застосування подвійного знаку "плюс-мінус".

1674 - Обчислювальна машина Г. Лейбніца.

1689 - "Арифметика" І. Ф, Копієвича - перша російська друкована праця

 з математики.

!729 - Введення Ейлером символа f(x).

1769 - Введення Ейлером подвійних інтегралів.

1784 - "Евклідові вірші"  - перклад з грецької П. Суворова і В. Нікітіна.

1809 - Дослідження чотирьох видів правильних зірчастих многогранників Л. Пуансо.


1829 - "Про начала геометрії"М. І. Лобачевського - перша друкована праця

 з неевклідової геометрії.
Сформульовано "Правило Штурма" для визначення кількості коренів 

алгебраїчного рівняння, які лежать на заданому відрізку.

 1864 - "Про початкове навчання рахунку" К. Ушинського.